本文主要研究具无穷延滞的脉冲泛函微分系统其中xt(θ)=x(t+θ),t≥t0≥0≥a≥-∞,θ∈[a,0],a可以是-∞目前对脉冲泛函微分系统的研究大都为有界滞量的情形,而对于具无穷延滞的脉冲泛函微分系统,由于其复杂性,关于该系统的研究还相对较少.在研究脉冲泛函微分系统解的性质时Lyapunov函数方法和Razumikhin技巧是非常有效的,但是选取适当的Lyapunov函数有一定的难度.而[22]中提出一种新的方法——部分变元Lyapunov函数方法,即将变量x分成几组,相应地选取几个Lyapunov函数,然后分别设置条件,研究解的性质.这样Lyapunov函数满足的条件较少,构造起来比较容易.在研究一些具体的脉冲泛函微分系统的定性问题时,若根据系统的结构特点,利用适当的不等式技巧,可能会得到更方便有效的结果.基于上述思想,本文将采用上述三种方法来研究系统(Ⅰ)的解的性质.全文共分为三章.在第一章中,主要研究系统(Ⅰ)零解的渐近稳定性.首先,利用Lyapunov函数和Razumikhin技巧,给出判定系统(Ⅰ)零解全局渐近稳定的Razumikhin型定理.定理的证明思路与通常证明系统(Ⅰ)零解渐近稳定的思路(见[10,11])不同,由此给出的Razumikhin条件,要求有所减弱,且容易验证；允许V函数的Dini导数是变号的.其次,利用部分变元Lyapunov函数和Razumikhin技巧,通过建立新的比较原理,得到比较系统为脉冲微分系统的比较结果,从而能由脉冲微分系统零解的稳定性,推出系统(Ⅰ)的零解具有相应的稳定性.在第二章中,主要研究系统(Ⅰ)零解的指数稳定性.首先,利用Lyapunov函数和]Razumikhin技巧,给出判定系统(Ⅰ)零解全局指数稳定的Razumikhin型定理.定理中的V函数允许在脉冲时刻有适当的增加,只要保证能与V函数在非脉冲时刻的减少量相抵消即可.其次利用部分变元Lyapunov函数和Razumikhin技巧来研究系统(Ⅰ)零解的全局指数稳定性,给出新的Razumikhin型定理.由于脉冲的影响,不必要求V函数关于系统(Ⅰ)的Dini导数常负或负定,允许为正,突出了脉冲对系统解的性质所产生的影响.在第三章中,主要研究具脉冲的Hopfield神经网络模型平衡点的稳定性.首先,建立推广的Halanay不等式,利用Lyapunov函数和建立的Halanay不等式,研究系统(Ⅱ)的平衡点的全局渐近稳定性,得到新的判定定理.其次,利用第二章中的结果,得到系统(Ⅱ)平衡点全局指数稳定的判定定理.定理允许系统的解和平衡点的距离在脉冲时刻有适当的增加,一定程度上改进了[40]的结果.
