谱图理论主要研究图的矩阵表示的谱性质,建立谱性质与图的结构性质或结构参数之间的联系,利用图的谱性质刻画图的结构性质,是代数图论和组合矩阵论一个重要研究内容.纵观当今国内外的谱图理论研究,主要工作集中在图的一些极端谱参数和极值谱性质上.具体而言,图的极端谱参数包括研究图的各种矩阵表示的谱半径、最小特征值、次大和次小特征值以及它们具有特定意义的组合形式.它们通常比其它特征值蕴含了更多的结构信息,所以更受人们的关注.图的极值谱性质是指刻画谱参数(通常是极端谱参数)达到某些极值条件(如最大、最小、临界值)时所具有的性质.最为常见的极值谱性质问题是特征值的极图问题,即刻画在某个确定的图类(即给定某一或某些参数的图)中某一特征值达到极大或极小的图.人们试图通过分析极图的结构,来探求图的谱参数与结构参数之间的关系.这一想法已成为研究者实现谱图理论研究目标的主要途径.近三十年来,关于谱半径的极值谱性质研究已相对成熟.研究者刻画了各种结构参数与谱半径之间的联系.作为另一个极端特征值,图的最小特征值同样能够很好地反映图的结构信息,具有很好的研究意义.图的Laplace矩阵的最小非平凡特征值(即代数连通度)是刻画连通性的重要参数[37],已有丰富的研究成果.相比之下,其它两类矩阵表示的最小特征值的研究工作则相对较少.事实上,它们同样是刻画图结构的有力工具.例如,图的最小特征值可用于判别一个图是否是某个图的线图[21],最小Q-特征值可作为图的二部性的一个度量[31,32]等.因此,从最小特征值的角度刻画图的结构是非常有意义的.本文主要讨论图的(邻接)最小特征值和最小Q-特征值的极值谱性质,刻画它们与图结构之间的关系.本文的第一章首先介绍图谱理论的研究背景,其次介绍基本的概念和记号,最后介绍所要研究的问题,它们的进展,以及本文所取得的主要结果.本文的第二章讨论了图的邻接最小特征值与两个重要结构参数(割点数与割边数)之间的关系,分别刻画了给定割点数和割边数的连通图中最小特征值的极小图.此外,我们还分别确定了给定割点数和割边数的二部图中谱半径的极大图.本文的第三章研究了图的补与最小特征值之间的关系,刻画了在所有树的补图中最小特征值的极小图和所有单圈图的补图中最小特征值的极小图,试图从补图的最小特征值角度探讨图的结构性质.本文的第四章主要讨论图的最小Q-特征值.在4.1节,研究了图的第一Q-特征向量的组合结构性质,刻画了在若干结构扰动下最小Q-特征值的变化情况.利用这些性质,在4.2节,研究了给定子结构的图的最小Q-特征值,刻画了含某个非二部图作为诱导子图的图类中,最小Q-特征值的极小图.在4.3节,研究了图悬挂点数与最小Q-特征值的关系,刻画了给定悬挂点数的非二部连通图中最小Q-特征值的极小图和极大图.
