非线性积分微分方程的基本理论

本文对几类非线性积分微分方程的初值问题和边值问题进行了研究。 全文共分三章。第一章对所研究问题的历史和现状进行了综述，并给出了必要的定义、定理和记号，这些内容主要取自于文献[1]和[2]。 第二章第一节利用Ascoli-Arzela不动点定理研究了Banach空间Volterra型一阶非线性积分微分方程的初值问题解的局部存在性．得到了如下结果： 设I=[0，α]是实直线上的闭区间，（E，‖·‖）是实Banach空间，B是E中闭球，（其中x0∈E,b为常数），即x∈C[I，B],（Kx）（t）=integral from 0 to t k（t,s）x（s）ds，其中； 又设， f是映I×B×H到E的有界连续映射,且对B的任意子集 S及H的任意子集Γ有 其中α（·）表示非紧性测度，L1，L2是正常数． 定理2.1.1在上述条件下，下列系统在区间△=[0，h]上至少有一个解 其中． 第二章第二节利用压缩映射原理研究了Banach空间Volterra型二阶非线性积分微分方程的边值问题： 在Lipschitz条件解的存在唯一性。结果如下： 定理2．2．1 假设f在I×E3上连续，且满足Lipschitz条件： 们t，x卜＊，z；厂八t，x。，＊，z。到卜L上1－x＊卜L加；－儿卜人k－z。【】其中L区＠L＊人为常数歹（t纱x且乡y且汐z且）罗（t多x＊罗y＊多z＊）＊IxE＊．ho＝maX旬k（t＠s）9多s)＊DO号o贝当［L；＋人人a］·：＋L厂子叫时，上述边值问题存在唯一的二阶连续可微解．L～且’一3一＊一J’－＊ 2一丛一＊回 ～～－0’刁－’刁H卜 ＊＊一厂’～一略【卜’回 第二章第三节利用Darbo不动点定理研究了如下Banach空间混合型二阶非线性积分微分方程的边值问题 卜X”（t）＝人彦，X（t），XYt)，（大》（t），（h卜）（t》，o＜矿＜X Ix（0＝6，X（a＝9＃gb＃ktt，Kth（Hx＊t）＝fh（t，s沁O）ds，h。C厂，R＊f。C［IxE＼E］，K＆MqRR％X＠前。结果如下： 定理2．3．1设（豆）f。C［IXE＼E］，且存在常数N＞0，使对E中任何有界集U，厂，W，Q都有a（f（，U，V，W，Q》＊ N·maxfo（），a（门，a（W），a（Q）｝（n）存在常数L＞0，使对任何（t，x，y，z，u）＊Ix E乏，＊（t，x，y，z，u）D卜L（文o材矿，S），仇人 S）分另满足弓理二＊回丸 2．3．4的条件（tv）M＝＊叫p，sj帅）＊Ixl｝，M二＊呐G：（，s）l（ts E＊xl，t 一＊｝，其中G（矿，尸）为格林函数则当。＜k·m。（M；，M＊·m。（，ho＋k；＋ky人＋h1”时，上述边值问题至少存在一个。阶连续可微解． 第三章第一节利用单调迭代方法研究了如下Banach空间脉冲一阶非线性积分微分方程的初值问题（！＊P）： Dx厂）＝歹八，mV】，I王二可】I互】、《11XN门L 互一、．l＝且．二…·l ！X【U）＝X。，凸川。＿．＝J。《Xlt。几 矿＝矿。 t＝1．2…·．m最大解、最小解的存在性以及解的存在唯一性，其中 x。。E，（E，11·11）是实B。。h空间，0＝t。＜t；＜…＜t。＜t。u＝。，s；；＝x（t；＋0）－x（t；），入。C［E，EI，其余符号及其含义同前。结果如下：假设：（H）存在 y卜Z。E PC［I，E］使 2 1儿（一三／，y刃），（趴）（O，（协。）（矿几 矿一一，f1二，…，m ！y。（0）三X。，砂N；）J；（y刃；）），i＝l，2，…，X ！Z。It）Z八J．二。川。（s。）0）．《o二。）《t》．J一t。j＝1．2…·、Z IZ。份）ZX。血nIt。）＝人IX。It。》．f＝1．二…·．X（HZ）有常数 L a 0，使对任何 t二人x，x。【x。，z。］，x 5 y： 几，沁），(枷(J几(俐O卜八I，x(O，u刁N，(仰（O）Z一L·(x（小人O）， J（X（t；））5人(y（t；）人 左＝l，2，…，X（H3） 对任何矿＊ I，及单调序歹 B c＝【y。，z。］，若B在＊（i＝ l，2，…，m）上等度连续，则 a(＊矿，B（t），（KB）（矿）（HB）(t》三 L；a（B（t））＋ L。a(（KB）(t》 人a(（HB）(t》 a(J；（B（t；））SM；a（B（t；）人i＝l，2，…，m其中L；（i＝1，2，3），M；（i－1，2，3）都是非负常数，且叶ZL＋ZL；＋akL。＋ah0La）＋二M；＜l i。l（H4）存在常数 R z 0，R z 0（i二 l，2，…，m），使对矿＊ I，x，y＊【yo，z0】，x s y人J，火0，(肛O几（协）(O卜八J，x(O，(枫（O，什大）（一）SR·（叶个人O） 入(y（；）卜入（x（t；））5 R(（y（t，）卜x（t；））i＝l，2，…，m其中 ［Ra?