多个体协同动力学系统的集体行为
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本研究系统地梳理了非时变有向网络条件下多个体动力学系统的前期主要理论成果,并在以下几个方面推进了这项研究(1)将特定网络条件下的状态一致问题推进到任意有向网络条件下的集体行为问题；(2)实质性地将个体状态定义在m-维(m=1,2,3)空间上(3)将线性动力学模型的研究推进到仿射动力学模型的研究；此外,(4)对简单有向图论以及矩阵的图论性质进行了有针对性的整理,使其成为多个体动力学系统结构分析的有效工具；(5)为多个体动力学系统的研究提供了一个初等的背景数学基础：基于线性代数和矩阵图论性质的初等对角占优矩阵论.多个体系统的结构由个体间的作用关系(行为关系,通讯关系)决定.系统的作用关系可以用一个有向图(?)来描述.多个体系统可以被分解为基本子系统的组成结构.每个基本子系统对应于(?)的一个强分量(极大强连通子图).基本子系统又可以区分为独立基本了系统和非独立基本子系统.本研究针对有向网络条件下多个体动力学系统的一种基本类型,多个体协同动力学系统的初值问题.一阶系统具有以下集体行为特征：(1)每个独立基本子系统所有个体趋于状态一致；(2)非独立基本子系统中的个体状态趋于系统独立基本子系统一致极限状态的凸组合；(3)系统所有个体趋于状态一致,当且仅当系统的独立基本子系统唯一.二阶线性系统如果趋于惯性状态,那么也具有以上集体行为特征.
| 摘要 | 第6-7页 |
| ABSTRACT | 第7页 |
| 目录 | 第8-12页 |
| 第一章 引言 | 第12-30页 |
| 1.1 自然界中的集体行为现象 | 第12-14页 |
| 1.2 实验与观测 | 第14-16页 |
| 1.2.1 Von Holst实验 | 第14页 |
| 1.2.2 罗马大学对大规模鸟群的观测 | 第14-16页 |
| 1.3 数值模拟实验 | 第16-17页 |
| 1.3.1 Reynolds模拟 | 第16-17页 |
| 1.3.2 Vicsek模型 | 第17页 |
| 1.4 集体行为动力学原理前期研究 | 第17-20页 |
| 1.4.1 对称多个体动力学系统 | 第18-19页 |
| 1.4.2 非对称多个体动力学系统 | 第19-20页 |
| 1.5 研究的内容及主要理论模型 | 第20-23页 |
| 1.5.1 基本理论模型 | 第20页 |
| 1.5.2 一阶线性多个体系统 | 第20-21页 |
| 1.5.3 二阶线性多个体系统 | 第21页 |
| 1.5.4 仿射多个体系统 | 第21-22页 |
| 1.5.5 多个体协同系统 | 第22-23页 |
| 1.6 主要理论结果 | 第23-30页 |
| 1.6.1 多个体系统的仿射性 | 第23页 |
| 1.6.2 多个体系统的结构 | 第23-24页 |
| 1.6.3 一阶线性多个体协同系统的集体行为 | 第24-25页 |
| 1.6.4 二阶线性多个体协同系统的集体行为 | 第25-26页 |
| 1.6.5 一阶仿射多个体协同系统的集体行为 | 第26-30页 |
| 第二章 多个体动力学系统的形式 | 第30-40页 |
| 2.1 信息诱导自驱动个体模型 | 第30-31页 |
| 2.2 多个体动力学系统 | 第31页 |
| 2.3 作用的独立性与叠加性 | 第31-32页 |
| 2.4 伽利略相对性及其限制 | 第32-36页 |
| 2.4.1 伽利略相对性与仿射性 | 第32-33页 |
| 2.4.2 形式唯一性 | 第33-35页 |
| 2.4.3 流行几何形状不变性 | 第35-36页 |
| 2.5 二阶仿射多个体动力学系统 | 第36-37页 |
| 2.6 多个体协同系统 | 第37-40页 |
| 第三章 多个体系统的结构 | 第40-60页 |
| 3.1 简单有向图 | 第40-50页 |
| 3.1.1 简单有向图 | 第40-41页 |
| 3.1.2 结点的连通与互通 | 第41-42页 |
| 3.1.3 基本集与强分量 | 第42-43页 |
| 3.1.4 基本集的连通性质 | 第43页 |
| 3.1.5 基本集关系图与强分量结构图 | 第43-45页 |
| 3.1.6 前驱闭包 | 第45-47页 |
| 3.1.7 独立基本集与非独立基本集 | 第47-50页 |
| 3.2 多个体动力学系统的结构 | 第50-51页 |
| 3.3 线性系统的结构 | 第51-60页 |
| 3.3.1 规范编号图 | 第51-53页 |
| 3.3.2 两级编号法 | 第53-54页 |
| 3.3.3 矩阵的可约性与Frobenius标准型 | 第54-57页 |
| 3.3.4 线性系统的结构 | 第57-58页 |
| 3.3.5 广义邻接矩阵 | 第58-60页 |
| 第四章 行零和对角占优矩阵 | 第60-76页 |
| 4.1 背景 | 第60-62页 |
| 4.2 对角占优矩阵 | 第62-66页 |
| 4.2.1 对角占优矩阵的高斯消元 | 第62-63页 |
| 4.2.2 Taussky定理 | 第63-65页 |
| 4.2.3 对角占优矩阵的Frobenius标准型 | 第65-66页 |
| 4.3 行零和对角占优矩阵 | 第66-76页 |
| 4.3.1 行零和对角占优矩阵的高斯消元 | 第66-67页 |
| 4.3.2 行零和对角占优矩阵Frobenius标准型的一个凸性质 | 第67-69页 |
| 4.3.3 不可约行零和对角占优矩阵的零特征根 | 第69-72页 |
| 4.3.4 单纯类型行零和对角占优矩阵的特征根 | 第72-76页 |
| 第五章 一阶线性多个体协同系统 | 第76-102页 |
| 5.1 系统的形式 | 第76-78页 |
| 5.2 协同矩阵 | 第78-80页 |
| 5.2.1 协同矩阵 | 第78页 |
| 5.2.2 协同矩阵的Frobenius标准型 | 第78-79页 |
| 5.2.3 协同矩阵的代数性质 | 第79-80页 |
| 5.3 系统结构 | 第80-82页 |
| 5.4 系统的平衡状态特性 | 第82-89页 |
| 5.4.1 系统的稳定性 | 第82页 |
| 5.4.2 独立基本子系统的平衡状态特性 | 第82-85页 |
| 5.4.3 非独立子系统的平衡状态特性 | 第85-86页 |
| 5.4.4 系统趋于状态一致充分必要条件 | 第86-87页 |
| 5.4.5 独立基本子系统带权中心及其不动性 | 第87-89页 |
| 5.4.6 独立基本子系统的平衡状态 | 第89页 |
| 5.5 系统的集体行为 | 第89-102页 |
| 5.5.1 系统的集体行为 | 第89-92页 |
| 5.5.2 作用关系网络强连通 | 第92-95页 |
| 5.5.3 独立基本子系统唯一 | 第95-98页 |
| 5.5.4 多独立基本子系统 | 第98-102页 |
| 第六章 二阶线性多个体协同系统 | 第102-130页 |
| 6.1 系统的形式 | 第102-104页 |
| 6.1.1 背景与模型 | 第102页 |
| 6.1.2 系统的矩阵向量形式 | 第102-104页 |
| 6.2 系统的结构 | 第104-107页 |
| 6.2.1 H矩阵的Frobenius标准型 | 第104-105页 |
| 6.2.2 系统的结构 | 第105-107页 |
| 6.3 H矩阵的代数性质 | 第107-112页 |
| 6.3.1 H矩阵的特征根 | 第107-110页 |
| 6.3.2 H矩阵的代数性质 | 第110-112页 |
| 6.4 二阶系统的平衡态 | 第112-121页 |
| 6.4.1 惯性状态的概念 | 第112-113页 |
| 6.4.2 系统趋于惯性状态的充分必要条件 | 第113-114页 |
| 6.4.3 独立基本子系统的带权中心的概念 | 第114-115页 |
| 6.4.4 独立基本子系统带权中心惯性定理 | 第115-116页 |
| 6.4.5 独立基本子系统的惯性状态 | 第116-117页 |
| 6.4.6 非独立子系统的惯性状态 | 第117-121页 |
| 6.5 系统的集体行为 | 第121-130页 |
| 6.5.1 系统的集体行为 | 第121-122页 |
| 6.5.2 系统的平衡条件 | 第122-124页 |
| 6.5.3 独立基本子系统唯一 | 第124-126页 |
| 6.5.4 多独立基本子系统 | 第126-130页 |
| 第七章 一阶仿射多个体协同系统 | 第130-154页 |
| 7.1 模型与背景 | 第130-132页 |
| 7.2 协同性 | 第132-138页 |
| 7.2.1 投影定理 | 第132-134页 |
| 7.2.2 最小立方覆盖及其区间套性质 | 第134-136页 |
| 7.2.3 最小凸覆盖的单调内缩性及其系统的极限空间 | 第136-138页 |
| 7.3 一维光滑动力学系统 | 第138-144页 |
| 7.3.1 光滑动力学系统 | 第138-139页 |
| 7.3.2 边缘个体及其不动条件 | 第139-143页 |
| 7.3.3 渐近性 | 第143-144页 |
| 7.4 高维光滑系统 | 第144-147页 |
| 7.4.1 最小立方覆盖边缘不动条件 | 第145-146页 |
| 7.4.2 最小凸覆盖顶点不动条件 | 第146-147页 |
| 7.5 系统的集体行为 | 第147-154页 |
| 7.5.1 系统的集体行为 | 第147-149页 |
| 7.5.2 不同场强函数及作用关系网络强连通 | 第149-151页 |
| 7.5.3 独立基本子系统唯一 | 第151-152页 |
| 7.5.4 存在多个独立基本子系统 | 第152-154页 |
| 第八章 总结和展望 | 第154-158页 |
| 8.1 研究总结 | 第154-156页 |
| 8.2 展望 | 第156-158页 |
| 参考文献 | 第158-164页 |
| 攻读博士学位期间完成的工作 | 第164-166页 |
| 致谢 | 第166页 |
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