若干非线性系统的精确解与守恒律研究

本文以辅助方程方法为基本工具研究了若干变系数非线性发展方程和带高阶非线性项的非线性发展方程的精确解.以伴随方程方法及相关理论为基础,研究了若干变系数非线性发展方程的守恒律.第一章简要介绍了非线性系统求解和守恒律研究的研究现状,历数了国内外学者在辅助方程方法和守恒律研究领域所取得的成果,对本文中的符号、概念做了解释和说明,同时概括了本文的主要研究内容.第二章研究了两类变系数Schrodingcr方程的精确解.提出了一种直接变换方法并用它把两类Schrodingcr方程化成了两个解已知的一阶常微分方程(辅助方程).借助这两个辅助方程的解获得了这两类方程的一些特解,包括孤立子解、三角函数解等.本章发展的直接变换方法也可推广到其他非线性系统的求解上.第三章研究了上述两类变系数Schrodingcr方程的守恒律.用最近发展的拟自伴随方程和弱自伴随方程的概念讨论了这两类方程的自伴随性,得到了它们的形式Lagrangian用李群理论做了李对称分析并得到了这两类方程的李对称.基于得到的形式Lagrangian和李对称,用Ibragimov的伴随方程方法研究了它们的守恒律.本章的特色之一是把拟自伴随方程和弱自伴随方程的概念由单个方程推广到了方程组上.本章的另一个特色是通过对自伴随性的讨论把伴随方程化成了与原方程等价的方程.第四章用辅助方程方法讨论了几类带高阶非线性项的非线性发展方程的精确解.给出了带高阶非线性项的辅助方程的一些新解,利用这些新解得到了带高阶非线性项的广义KdV-mKdV方程、广义ZK方程和Schrodingcr方程的一些新的精确解.第五章讨论了带交叉项的(2+1)维变系数正规广义KP方程和(2+1)维变系数Burgers方程的守恒律.由于交叉项的存在,Ibragimov的“新的守恒律定理”不能直接应用到这两个方程上.本章给出了两个改进规则,这两个规则保证了该定理可以应用到带交叉项的非线性发展方程上.应用这两个规则,分别给出了KP方程和Burgers方程的守恒律公式并按照对称的分类给出了它们的非平凡守恒律.