两类三分子自催化模型的分歧和稳定性

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为了认识生命现象的化学过程,驱使人们去了解这些现象的机理,以数学模型来描述和研究其反应过程成为研究生物化学过程的重要手段,对认识生命现象具有重要意义.而几乎所有的生化反应都涉及到自催化反应,其中糖酵解模型和Schnakenberg模型是两类重要的三分子自催化模型.这些生化反应现象与我们的实际生产生活密切相关,例如生产发酵工艺的改良,蚊虫的生物控制,果蔬的贮藏保鲜等.弄清楚生化反应的动力学性质可以准确把握催化反应的条件以充分发挥催化剂的催化作用,解释相应领域的某些现象,预测研究对象的发展规律,在生产和生活过程中具有重要的指导作用,推动着非线性科学的发展.本文基于糖酵解模型和Schnakenberg模型的研究现状,研究了这两类模型的动力学行为,包括稳态结构的存在性、多重性和稳定性,以及时空结构的存在性和稳定性.所涉及的数学理论包括最大值原理、度理论、分歧理论、稳定性理论、Lyapunov-Schmidt约化方法、奇异性理论等.本文的主要内容包括以下几个方面:第一章介绍了三分子自催化模型的背景和研究现状,接着给出了本文运用的基本理论知识,如最大值原理、分歧理论、稳定性理论、Lyapunov-Schmidt约化方法和奇异性理论等.第二章考察了齐次Neumann边界条件的糖酵解模型的稳态结构和时空结构.利用Turing的扩散引起不稳定的思想分析了非常数稳态解存在的必要条件,并利用度理论和解的先验估计,给出了非常数稳态解存在的充分条件,相比前人的类似工作得到了更一般的结果.接着以扩散系数d1为分歧参数,得到了单重分歧产生的非常数稳态解的局部结构和全局结构.特别地,运用Lyapunov-Schmidt方法和奇异性理论分析了二重分歧,并得到单重分歧解的多重性、分歧方向以及稳定性,对于二重分歧是一个创新的工作,也突破了稳定性理论的局限性.进一步以输入量δ为分歧参数,运用Hopf分歧理论讨论了空间齐次周期解的分歧方向及稳定性,关于空间非齐次周期解的分歧方向及稳定性是有待于进一步探讨的工作.第三章分析了固定边界条件的糖酵解模型的稳态分歧和稳定性.仍以扩散系数d1为分歧参数,得到关于单重分歧和二重分歧的细致而全面的分析,并运用稳定性理论分析了单重分歧解和二重分歧解的稳定性.特别地,运用ODE方法解决线性算子的求逆问题是一个最新的工作.本章所得结果完备了糖酵解模型的定性分析,与齐次Neumann边界条件的糖酵解模型的相关结果有所不同,例如解的表达形式和约化方程的等价结果.关于固定边界条件的Hopf分歧已有初步的思路,有待于进一步的推理证明.第四章考虑了一类Schnakenberg模型的稳态结构和稳定性.本章的重点工作是稳态结构,故限制参数γ∈(0,(?)-1]进行分析.对于该模型经典的单重分歧理论不是完全有效,故运用Lyapunov-Schmidt方法和奇异性理论研究了单重分歧,二重分歧以及分歧解的稳定性.不但解决了单重分歧理论的奇性,而且得到比较系统而完整的结果,如非常数稳态解的存在性、多解性和分歧方向.最后,经数值模拟发现γ∈((?)-1,1)时稳定的空间非齐次周期解的存在性,这为进一步的Hopf分歧研究提供了数值依据.
摘要第3-5页
Abstract第5-6页
第1章 绪论第8-18页
    1.1 三分子自催化模型的背景和研究现状第9-13页
    1.2 本文的主要工作第13-14页
    1.3 预备知识第14-18页
第2章 Neumann边界条件的糖酵解模型的Turing分歧和Hopf分歧第18-50页
    2.1 引言第18-19页
    2.2 非常数正平衡态解的不存在性和存在性第19-27页
    2.3 Tuing分歧及其稳定性第27-39页
    2.4 Hopf分歧及其稳定性第39-45页
    2.5 数值模拟第45-50页
第3章 固定边界条件的糖酵解模型的稳态分歧和稳定性第50-78页
    3.1 引言第50-51页
    3.2 常数稳态解的稳定性第51-53页
    3.3 m≠j时d_1~(j)≠d_1~(m)对应的局部和全局分歧第53-56页
    3.4 j≠m时d_1~(j)=d_1~(m)对应的局部分歧第56-72页
    3.5 分歧解的稳定性第72-75页
    3.6 数值模拟第75-78页
第4章 Schnakenberg模型的稳态结构和动力稳定性第78-98页
    4.1 引言第78-80页
    4.2 空间齐次稳态解的稳定性第80-82页
    4.3 对于每个γ_j≠γ_m,m≠j对应的局部和全局分歧第82-88页
    4.4 对于某个γ_j≠γ_m,j≠m对应的局部分歧第88-94页
    4.5 空间非齐次稳态解的稳定性第94-95页
    4.6 数值模拟第95-98页
总结第98-100页
参考文献第100-108页
致谢第108-110页
攻读博士学位期间的研究成果第110页
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