常微分方程边值问题是常微分方程理论研究中最为重要的课题之一随着科学技术的进步与发展,工程、力学、天文学、经济学、控制论及生物学等自然学科和边缘学科领域中的许多实际问题都可归结为常微分方程的边值问题.我们都知道,寻求微分方程的通解十分困难,故从理论上探讨解的存在性及其性态一直是近年来研究的热点问题.常微分方程两点边值问题也具有广泛的实际意义.在物理学、生命科学、控制论等理论和实际问题中都有广泛应用.比如：Sturm—Liouille问题,弦振动问题,磁性流体力学问题等问题.常微分方程两点边值问题的研究近年来获得了很大程度的发展,目前已经得到了很多不同条件下解的存在性结果.例如,国内的马如云[20-23],孙经先[12,26,33],国外的B.R.Rynne ,Jacek Gulgowsk等都已经做了很多研究工作,目前研究的大多是非线性项f不含有导数项时,解的存在性问题[1-3],[7-12],[19-23,26,28,31-34],f含有导数项时,解的存在性问题研究的还很少.本论文的研究允许非线性项f带导数,这样一来扩大了非线性项的范围.本论文共分为两章.在第一章中,我们研究二阶非线性两点边值问题其中f(ζ,n)=βζ+αn+F(ζ,n),F(ζ,n)：R×R’→R’是连续的,F(ζ,n)=0((ζ2+n2)1/2)(当(ζ,n)→(0,0)时),β∈C[0,1]且β>0,α≠0.孙经先[33]等人对相应的分歧问题获得全局分歧结果,且利用这些结果研究有特殊的节点性质的Sturm—Liouville问题的多个解(至少8个).本文用相同的方法,在类似的条件下,研究了相应的导算子的谱结构,利用Rabinowitz分歧定理得出了边值问题解的全局分歧理论,并相应的得出两点边值问题的多个解.在第二章中,我们研究二阶非线性两点边值问题其中本文要求f(s,s’)∈C’(R×R’,R)且sf(s,s’)>0.安玉莲[32]用Rabinowitz全局分歧理论研究了超线性二阶两点边值问题解的全局结构.本文在允许非线性项含有导数的情况下,研究了二阶两点边值问题解得全局结构及相应的解的个数问题.文章不但对每一个定理作了详细的证明,而且在每一章的最后都对每一章的主要定理举了例子进行说明.
