众所周知,自然界的诸多现象都可以用反应扩散方程来描述,因而已成为现代数学最重要的研究领域之一.在反应扩散方程的研究中,行波解是其中一个重要分支.最近,一些学者发现许多反应扩散方程的波方程具有梯度结构,由此他们用基于梯度结构的变分思想研究反应扩散方程的行波解,从而打破了原有基于最大值原理研究反应扩散方程行波解的框架.值得注意的是,利用变分方法可对被研究对象进行更精细的刻画,并且易于推广到最大值原理不成立的梯度扩散系统中.另一方面,当空间变量为高维时,反应扩散方程非平面行波解工作相对平面行波解较少,并且此时的波方程为椭圆方程.另外,近年来,在生态学、材料科学、神经网络等学科中导出了由积分算子来描述的非局部扩散方程.因而研究具有梯度结构的高维反应扩散方程和局部-非局部混合扩散发展方程具有重要的现实和理论意义,并且具有一定的难度.首先,在Dirichlet和Neumann混合边界条件下研究了柱体上具有梯度结构的反应扩散对流方程行波解.借助于比较原理与上下解方法证明了当波速大于最小波速时行波解的存在性.另外,当非线性项为双稳和点火型时,通过把行波解的存在性转化为限制极小问题的极小的存在性,获得了行波解的存在性、平移意义下的唯一性及单调性.进一步,由于波速与极小值相联系,故获得了波速单调依赖于非线性项和区域.最后考虑了对流对行波的影响.其次,讨论了柱体上梯度扩散系统-Ginzburg-Landau类型问题的行波解.为此,我们首先给出了一个一般的变分格式,然后将其应用于Ginzburg-Landau类型问题.特别地,也应用此变分格式研究了单个方程(反应对流扩散方程)的行波解.进一步,利用能量方法结合比较原理获得了反应对流扩散方程行波解的全局指数稳定性.最后,研究了具有梯度结构的退化双稳型与点火型局部-非局部混合扩散发展方程行波解.利用变分方法,行波解的存在性被转化为限制极小的存在性.因此,通过讨论限制极小问题获得了行波解的存在性、平移意义下的唯一性以及单调性.
