具有尺度结构的生物种群音争系统的行为分析和最优控制

维护生态平衡、保护生物多样性以及合理利用可再生生物资源,需要深入研究生物种群的演变规律。为此，国内外学者们建立了许多数学模型，其中绝大多数模型不考虑种群个体的尺度结构。所谓尺度是指描述种群个体特征的某个连续变量，如体积、长度、直径、成熟度或其它生理或统计等性质。对多数种群而言（如森林、江河海洋鱼类等），个体的尺度指标对其生存、繁殖能力有决定性影响，也决定了个体对人类的商业价值。此外，某些尺度指标（如长度、直径等），为人类在开发该种群资源时提供了实际可行的数量参数。例如，根据希望捕捞的鱼的最小直径，可以精确设计渔网网眼。目前，考虑尺度结构的种群模型的重要性已引起关注。本文考虑具有尺度结构的两竞争种群动力系统，研究其动力学性态（如解的存在性，唯一性，非负性，有界性，稳定性，解对控制函数的连续依赖性等）和控制问题（最优收获策略）。综合应用（线性和非线性）泛函分析（如不动点原理，Mazur定理，切锥法锥等）、微分方程、现代优化理论等工具，得到一些理论成果，为模型的实际应用提供了必需的科学理论依据。本文的主要工作如下：第二章建立并分析了一个带有尺度结构两个竞争物种的系统模型。第一节以偏微分-积分方程组形式建立了一个非线性模型，第二节证明了线性比较原理，为后续研究打下基础。第三节证明模型的适定性（解的存在唯一性、非负有界性、解对控制变量的连续依赖性）。第三章讨论了系统的平衡态的存在性和稳定性。第一节给出了几种平衡解及它们存在的条件，第二节分析了平衡解的稳定性。第三节举例并用数值模拟的方式直观展示了稳定性结果。第四章研究具有尺度结构竞争种群模型的最优收获策略。第一节主要处理最优利益问题：首先给出基本模型及模型参数的相关假设；然后借助Mazur定理，证明了最优控制的存在性；最后应用切锥法锥技巧，给出了最优控制满足的必要条件。第二节则在生态平衡的前提下讨论了一个最优收获问题：先给出基本模型及相关假设，再利用Dubovitskii Milyutin定理给出了最优性条件。