本文主要利用机械求积法得到偏微分方程的高精度近似值。与有限元方法、配置法等相比,具有精度高、计算量小,收敛速度快的优点.利用外推或分裂外推进一步提高近似解的精确度,精度可以达到O(h5)甚至O(h7).特别是分裂外推算法具有平行算法的优点,可在机械求积法的基础上进一步减少计算复杂度.本文分别针对Laplace方程和弹性方程中Steklov特征值问题、具有线性边界条件的弹性问题,以及具有非线性边界条件的Laplace方程进行了求解.得到对应问题的高精度近似解.数值算例说明了此方法的优越性与有效性.首先研究在具有光滑边界的微分方程中引入Steklov特征值问题后,给出特征值问题的求解方法,以及他们在求解微分方程中的应用.利用位势理论, Laplace方程和弹性方程转化为边界积分方程.方程中将具有对数弱奇异积分和柯西奇异积分,机械求积法将被应用来近似这些算子得到线性方程组.根据Anselone聚紧收敛、渐近紧收敛,以及共轭算子的性质,我们得到近似解的误差具有奇数阶渐近展开式,且收敛速度为O(h3).用外推算法进一步提高近似精度阶为O(h5),还得到后验误差估计.利用特征向量的正交性与完备性得到边界条件值的广义Fourier级数展开,从而给出微分方程的新的求解方法.其次,集中研究在Laplace方程中具有多角形边界区域的Steklov特征值问题.利用位势理论, Laplace方程可转化为边界积分方程,方程中的积分核与调和函数在角点处都具有奇异性.为了消除积分核与调和函数在角点处的奇异性,我们引入sinp-三角变换,并对积分核与未知特征向量函数进行重组.由聚紧、渐近紧收敛性质,得到近似解的多变量渐近展开式和收敛精度阶O(h03),利用分裂外推算法更进一步地提高了近似的精确度为O(h05).最后,利用机械求积方法求解具有线性边界条件的弹性力学问题以及求解具有非线性边界条件的Laplace方程.利用位势理论,具有线性边界条件的弹性力学问题可转化为具有对数奇异和柯西奇异的边界积分方程以及具有非线性边界条件的Laplace方程可转化为非线性的边界积分方程.利用机械求积法得到求解对应解的近似的线性方程组或者非线性近似方程组.据Anselone聚紧收敛、渐近紧收敛得到线性方程组的可解性以及利用Stepleman定理得到了非线性近似方程组解的存在性.并得到解的近似误差的奇数阶渐近展开式.利用外推算法提高收敛的精度阶O(h5)以及得到后验误差.
