最近几十年来,物理、力学、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融等领域中诞生了许多非线性偏微分方程.由发展方程所定义的无穷维动力系统是研究偏微分方程的一个重要方面.而揭示系统长期发展所表现出的动力学性质和基本动力特征,特别是要揭示时间无穷时的终态情况,是动力系统理论重要的研究课题之一.吸引子概念的成功引入为解决这一问题提供了思路,它有效地描述了非线性发展方程所产生的动力系统的长时间行为,很好的反映了子然界的许多非线性现象.考虑到现实中随机因素对系统的影响,Crauel和Flandoli[37]与Schmalfuβ[39]推广了吸引子的概念,引入了随机吸引子的概念,它与一般只涉及确定方程的吸引子完全不同,使得我们可以考虑受随机噪音的扰动影响下系统的动力学性质.由于随机动力系统尽可能考虑到了来自不同方面的影响,抓住了受白噪音影响下系统的本质特征,这无疑更接近现实事物发展演化的规律性,所以大量的文献[37-39,41-65]对各种带白噪音的偏微分方程随机吸引子的存在性问题给以研究.由于方程的非线性以及随机扰动的复杂性,使得对这些方程随机吸引子的研究具有很大的挑战性.本文研究几类具有深厚物理背景的带白噪音非线性偏微分方程,即带加法白噪音的Reaction-Diffusion方程p-Laplacian类型方程、磁流体力学Magneto-Hydrodynamics方程、色散水波运动Camassa-Holm波方程.主要研究内容：我们引入了关于随机吸引子最一般形式的定义,给出了定义在无界域上的随机动力系统在Lp(P>2)空间上存在随机吸引子的充分必要条件.进一步,分别考虑了上述随机偏微分方程生成的随机动力系统在不同函数空间上随机吸引子的存在性.在第二章中,首先,在以Hilbert空间L2上随机吸引子存在为前提,研究了随机动力系统在非Hilbert空间Lp(p>2)上随机吸引子的存在性问题,并探讨了该随机吸引子和L2上的吸引了之间的关系,这里的随机动力系统定义在无界域RN上.得到如下两个结果：定理2.1设(φ,θ)分别为L2和Lp上的随机动力系统,其中2≤p<∞,并且(φ,θ)在L2上连续.假定(φ,θ)存在(L2,L2)-随机吸引子,则(φ,θ)存在(L2,Lp)-随机吸引子的充要条件是：(ⅰ)φ存在(L2,Lp)-随机吸收集{Ko(ω)}ω∈Ω；(ⅱ)φ(L2,Lp)-渐近紧的.并且,(L2,L2)-随机吸引子与(L2,Lp)-随机吸引子在集合包含意义上等同·定理2.2设(φ,θ)分别为L2和Lp上的随机动力系统,其中2≤p<∞,并且(φ,θ)在L2上连续.假定(φ,θ)存在(L2,L2)-随机吸引子,则(φ,θ)存在(L2,Lp)-随机吸引子的充要条件是：(ⅰ)φ存在(L2,Lp)-随机吸收集{Kθ(ω))ω∈Ω；(ⅱ)对任意ε>0和每一个{B(ω)}ω∈Ω∈D,存在正常数M=M(ε,B,ω)和T=T(ε,B,ω)使得对所有的t≥T,这里Ψ(t)=φ(t,θ_tω).并且,(L2,L2)-随机吸引子与(L2,Lp)-随机吸引子在集合包含意义上等同.其次,作为对上述理论结果的应用,研究带可加自噪音的Reaction-Diffusion方程,也就是如下带有限可加白噪音的发展方程边界条件：这里λ为一正常数,g和hj(1≤j≤m)是定义在RN上的实值函数,非线性函数f(χ,u)满足如下增长和耗散条件：对χ∈RN,u∈R,其中α1,α2和β为正三常数,p≥2,{wj(t)}jm-1是概率空间(Ω,F,P)上相互独立的双边实值Wiener过程,其中Ω={ω∈C(R,Rm):ω(0)=0},F是Borel σ-(?)弋数,P是(Ω,F)上的Wiener测度.通过验证方程解的尾部任意小,获得了方程(1)生成的随机动力系统在Lp空间上的渐近紧性,我们称为(L2,Lp)-渐近紧.[61]获得了方程(1)生成的随机动力系统存在(L2,L2)-随机吸引子,于是我们得到如下结论：定理2.8假设g∈L2以及(a1)一(d1)成立,则由初值问题(1)生成的随机动力系统φ存在唯一(L2,Lp)-随机吸引子{Ap(ω)}ω∈Ω.{Ap(ω)}ω∈Ω是一紧的、不变的速降集,按Lp范数吸引L2空间上所有的速降集.并且,Ap(ω)=A(ω),这里{A(ω))ω∈Ω是(L2,L2)-随机吸引子.在第三章,研究定义在有界域D(?)RN上带可加白噪音p-Laplacian类型方程：边界条件：Δu(t)=0, u(t)=0,x∈(?)D,t≥0,初值条件：u(0,x)=u0(x),x∈D.在方程(2)中,Φp(s)=|s|p-2s,p≥2,外力函数g(χ,s)满足如下耗散和增长条件：其中2≤q≤p<∞.假定φj∈W04,p(D), W(t)=(W1(t),W2(t),...,Wm(t))是概率空间(Ω,F,P)上独立的双边实值Wiener过程,其中Ω={ω∈C(R,Rm)：ω(0)=0},F是Borel σ-代数,P是(Ω,F)上的Wiener测度.证明了在给定的假设下,方程(2)的解的唯一存在性和对初值的连续依赖性,从而获得了唯一随机动力系统.通过对解的先验估计和巧妙运用Laplacian算子的Dirichlet形式的性质,获得(2)的解的正则性,从而证明了方程(2)生成的随机动力系统在L2(D)上存在紧的吸收集,于是得到：定理3.5假设g满足(a2)-(c2)和f∈V’,则由随机p-Lapalcian类型方程(2)生成的随机动力系统φ在L2(D)上存在唯一紧的随机吸引子{A(ω)}ω∈Ω其中B(L2)表示L2(D)的所有有界子集的全体,闭包是在L2(D)空间的范数下.定理3.6假设g满足(a2)-(c2)和f∈V’,C3>0,则由随机p-Lapalcian类型方程(2)生成的随机动力系统φ在L2(D)上的随机吸引子{A(ω))ω∈Ω由一个单点构成,即存在ξ0(ω))∈L2(D)使得A(ω)={ζ0(ω)}, ω∈Ω.在第四章,研究定义在有界光滑区域Ο(?)R2上带加法白噪音的磁流体动力学方程组：边界条件：在(0,+∞)×Γ上v=0; B.n=0, curl B=0,初值条件：v(x,0)=v0, B(x,0)=B0, x∈(?).其中P=P(χ,t)是未知的总压强,常数v1,v2,S>0,未知函数υ=(υ1(χ,t),υ2(χ,t)),B=(B1(x,t),B2(x,t)),已知函数G(x)=(g1(x),g2(x))∈L2((?))2.{ωj(t)}j=12是概率空间(Ω,F,P)上相互独立的双边实值的Wiener过程,其中Ω={ω=(ω1,ω2)∈C(R,R2):ω(0)=0},F是由Ω的紧拓扑所生成的Borel σ-代数,P是(Ω,F)上的Wiener测度F(x,v)=(f1(x,v1),f2(x,v2))满足如下条件：χ∈O,υ∈R2,这里|υ|表示υ∈R2的模,α1,α2,C1为正常数.得到如下结论：定理4.4假设(a3)-(d3)成立,G∈L2(Ο)2,则由磁流体力学方程组(3)生成的随机动力系统φ在空间L2(Ο)2×L2(Ο)2上存在唯一紧的随机吸引子{A(ω)}ω∈Ω,{A(ω)}ωEΩ是紧的不变集,吸引L2((Ο))2×L2(Ο)2中的所有速降集.在本文最后一部分,考虑了一类色散浅水波方程模型,也就是带可加白噪音扰动的耗散Camassa-Holm方程模型并设方程具有周期边界条件.方程(4)中,W(t)是定义在概率空间(Ω,F,P)上的双边实值Wiener过程,Q是Rm→L2(Ⅰ)上的有界线性算子.我们证明了方程(4)生成的随机动力系统分别在Hilbert空间H1(Ⅰ)和日2(Ⅰ)上存在有界吸收集,于是利用紧嵌入定理得到随机吸引了的存在性.定理5.5设ε>0,则由Camassa-Holm方程(4)生成的随机动力系统φ在H2(Ⅰ)空间中存在随机吸引子{A(ω)}ω∈Ω,吸引H1(Ⅰ)中每一个确定的有界集.
