电力电子、机械工程、控制、生物等很多领域的很多科学问题要用非光滑函数建立的模型来刻画,因而需要用非光滑(或分段光滑)动力系统理论来分析研究。分段光滑动力系统理论尽管已有几十年的研究历史,并且也取得了一定的进展,但到目前为止该理论领域的很多基本问题都还远远未能解决,使得学者们对实际问题的研究和应用因缺乏相应的理论工具而搁浅。本人正是在这样的背景下致力于分段光滑动力系统基本理论的研究,取得了如下创新成果：(1)对于平面分段光滑动力系统的广义Hopf分岔问题进行了深入研究。分别研究了当每个子系统都有一对共轭复特征根且单个不连续边界受扰动时,以及当子系统的特征根可能是一对共轭复数也可能是两个非零不等实数且多个不连续边界相交成Corner时,系统的极限环分岔情况,并取得了完整结果；(2)研究了一类平面分段线性动力系统极限环的个数问题,得到有两个子系统的平面分段线性系统可能有1至3个极限环的结论,从而为发表在国际权威杂志《J.Differential Equations》上的关于两个子系统组成的平面分段线性系统最多有2个极限环的猜想提供了一个否定的回答；(3)构造了一类三维分段线性混沌系统,并从理论上严格证明了该系统混沌吸引子的存在性,从而为设计混沌发生器提供了科学的理论指导和具体可靠的设计方案。在此理论基础上,设计了两个具体的混沌发生器,并给出了相关的计算机仿真结果和电路实现。本文具体内容安排如下：第一章为绪论,主要介绍了现有光滑动力系统理论的不足,以及分段光滑动力系统理论的发展动机、历史和现状。第二章为预备知识,首先简单回顾一些光滑动力系统理论的适用于分段光滑动力系统的基本概念,然后简单介绍一下分段光滑动力系统理论的一些基本概念,最后介绍本文用来证明混沌存在性的重要工具——符号动力系统和拓扑马蹄引理。第三章,根据子系统的特征值是一对共轭复数还是两个非零不等实数进行分类,主要介绍当二维分段光滑动力系统的不连续边界相交成corner时,本人在分段光滑动力系统广义Hopf分岔方面取得的创新成果。第四章主要探讨了一类只有一个不连续边界的平面分段线性系统的极限环的个数问题,得到系统可能有1到3个极限环的结论。然后直接用前面推导的一些结论讨论了当不连续边界受扰动时系统的极限环分岔情况。第五章,构造了一类三维分段线性混沌系统,并从理论上严格证明了该系统混沌吸引子的存在性。第六章,直接运用第五章的理论结果设计了两个混沌发生器,并给出混沌发生器的计算机仿真以及电路实现。第七章,首先对本文的工作进行总结,然后初拟下一步的研究计划。
