有限域上的一些算术问题

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本文主要研究了有限域上的一些算术问题,这些问题均具有密码学上的应用背景。全文共分四章。在第一章中,我们对有限域上代数簇有理点个数的某些类型的估计进行了改进或推广。这些估计包括著名的Chevalley-Warning定理和Ax-Katz定理,以及万大庆定理。例如,通过引入“Φ—变换”的概念,将关于简单对角多项式零点个数的压缩公式推广到广义对角多项式以及更为一般的情形上去;利用Adolphson和Sperber的牛顿多面体理论与指数和工具,将万大庆定理进行了两个不同方向的推广,等等。在第二章中,我们研究了有限域上三类特殊超曲面方程(对角方程、S—方程和阶梯方程)的解数公式。通过引入“GCD-连通集”这一概念,得到以下一些结果:(a)给出了华罗庚、Vandiver和Weil关于对角方程解数的特征和表达式及其相关函数的分解公式,(b)对孙琦和万大庆的两个定理给出了一个统一的简单证明,(c)部分地回答了万大庆提出的一个问题并提出了一个猜想。引入了S—方程的概念,证明了本原S—方程在方程解数的研究中具有类似不可约多项式在多项式分解中的重要作用,并且由此发现了一系列新的解数公式。对王文松和孙琦关于阶梯方程的定理给出了一个简洁的证明。在第三章中,我们讨论了有限域上的基。通过引入“k—th乘法表”的概念,给出了关于对偶基的一种新的刻画;作为应用,推广了廖群英和孙琦的有关结果,并简化了廖群英和孙琦,以及Wang和Blake的相关定理的证明。通过利用Akbik和Ruskey等的两个计数定理,对Perlis和Pei等的关于不可约多项式与N—多项式的两个定理给出了一个统一的简洁证明。最后还提出了一个纯属组合数论的问题。在第四章中,我们介绍了如何利用有限域上的圆锥曲线和椭圆曲线的有理点成群这一性质进行整数分解和设计RSA型公钥密码系统,并比较了它们各自的优劣,从中总结出利用有限域上的群进行整数分解和设计RSA型公钥密码系统的一般规则。特别地,我们指出环Z_n上RSA型公钥密码系统通过选择适当的参数可以抵抗包括传统的Wiener攻击在内的小解密指数攻击,从而推广了孙琦等人的相关结论。关于以上问题密码学上的应用背景,将在“前言”中进行详细介绍。
摘要第2-4页
Abstract第4-5页
前言第8-12页
第一章 有限域上代数簇有理点个数的估计第12-35页
    1.1 引言第12页
    1.2 一个初等的上界估计第12-13页
    1.3 指数和的估计第13页
    1.4 Chevalley-Warning-Ax-Katz型估计(p-adic估计)第13-16页
        1.4.1 Dickson-Artin猜想第13-14页
        1.4.2 Ax-Katz定理和Chevalley-Warning定理第14页
        1.4.3 其它相关工作第14-16页
    1.5 Granville-Li-Sun-Yuan的压缩公式及其推广第16-28页
        1.5.1 φ-变换第16页
        1.5.2 简单对角多项式及其上的φ-变换第16-18页
        1.5.3 两次推广第18-27页
        1.5.4 后续工作第27-28页
    1.6 牛顿多面体与Adolphson-Sperber指数和定理第28-35页
        1.6.1 牛顿多面体第28页
        1.6.2 Adolphson-Sperber指数和定理第28-30页
        1.6.3 两个应用第30-35页
第二章 有限域上几类特殊超曲面方程的解数公式第35-58页
    2.1 引言第35页
    2.2 对角方程第35-49页
        2.2.1 Hua-Vandiver-Weil公式及其估计函数第36-38页
        2.2.2 GCD-连通集第38-39页
        2.2.3 Hua-Vandiver-Weil公式及其估计函数的分解第39-44页
        2.2.4 I(d_1…,d_n)=0,1的充要条件第44-46页
        2.2.5 关于L(d_1…,d_n)的一些结果第46-48页
        2.2.6 广义Markoff-Hurwitz方程、Calabi-Yau超曲面第48-49页
    2.3 S-方程第49-54页
        2.3.1 定义及其基本性质第49-51页
        2.3.2 应用第51-54页
    2.4 阶梯方程第54-58页
第三章 有限域上的基第58-69页
    3.1 引言第58-59页
    3.2 关于对偶基的一种新的刻画及其应用第59-65页
        3.2.1 k-th乘法表与主要定理第59-61页
        3.2.2 弱自对偶基第61-65页
    3.3 不可约多项式与N-多项式第65-69页
        3.3.1 正规元与N-多项式第65页
        3.3.2 Perlis与Pei等关于N-多项式的定理第65-66页
        3.3.3 基干两个计数定理的简单证明第66-67页
        3.3.4 一个组合数论问题第67-69页
第四章 有限域上的圆锥曲线、椭圆曲线和整数分解、RSA型公钥密码体制第69-82页
    4.1 引言第69-70页
    4.2 预备知识第70-72页
        4.2.1 圆锥曲线第70-71页
        4.2.2 椭圆曲线第71-72页
    4.3 在整数分解上的应用第72-76页
        4.3.1 "p-1法"第72-73页
        4.3.2 ECM第73-74页
        4.3.3 CCM第74页
        4.3.4 几点注记第74-76页
    4.4 RSA型公钥密码体制第76-82页
        4.4.1 一般设计原则第76-78页
        4.4.2 离散对数问题第78-79页
        4.4.3 抗小解密指数攻击第79-82页
参考文献第82-92页
作者在攻读博士学位期间的工作目录第92-94页
致谢第94-95页
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