非线性动力系统的概念起源于19世纪末对振动、湍流、天体运动等力学现象的研究.经过一百多年的发展,非线性动力学已经取得重大成就.非线性动力学理论不仅在自然科学和工程技术领域(特别是在机械装备、车辆系统、机电耦合系统、电力系统、航天器系统和微系统等)得到应用,而且在经济和社会领域也有广泛应用.本论文研究微系统中的几类非线性椭圆动力系统.这几类椭圆动力系统在微系统(量子力学)中是最基本的非线性动力系统,它们在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当.自该系统提出以来,对于其解的存在性及其解的性态的研究,一直是力学和数学工作者关注的焦点.本文运用临界点理论在一些适当的假设条件下得到了全空间上几类椭圆动力系统解和多解的存在性,并且进一步研究了解的变号和解的集中等性态,改进和推广了一些已有的结果.本文的绪论部分简单介绍了非线性椭圆动力系统的背景、变分法中的一些基本结果和本文的主要工作.本文从第二章到第六章分别对全空间上的四类椭圆动力系统进行了深入的讨论,对一些已有的结果做了改进和完善.本文第二章研究带有一般非线性项的奇异耦合的椭圆系统基态解的存在性,并且研究得到了该基态解具有集中等性态Beyon和Jeanjean只研究了标量方程,得到了解的存在性和解具有集中现象.而Pomponio和Secchi虽然研究了在全空间R3上的耦合系统存在径向对称的基态解,但是并没有研究解的集中现象.因而,本文第二章在上述文献的基础上,研究得到了全空间上扰动耦合系统的基态解具有集中等性态,推广和改进了已有的工作.本文第三章利用Nehari流形分解等变分法知识研究了在全空间上带有凹凸非线性项和变号权函数的临界奇异椭圆系统,得到了该类系统在全空间上正解和多个正解的存在性.该研究结果对以往的工作是一个改进和推广本文第四章和第五章运用山路定理分别研究带磁势和临界增长的扰动非线性椭圆标量方程和非线性椭圆系统,得到了椭圆方程和椭圆系统半经典解的存在性和多解的存在性.以往工作只研究了临界增长的不带磁势的扰动非线性椭圆方程和系统的解存在性,因而,第四章和第五章的研究结果推广和完善了已有工作.本文第六章研究在全空间上带有临界增长非线性项的p-拉普拉斯系统的解存在性,得到了系统存在山路形式的极小极大解,从而推广和改进了已有的工作.
