Hamilton-Jacobi方程起源于经典力学、几何光学。它作为一阶非线性偏微分方程,是海洋内波动力学、流体力学和大气动力学中非常重要的数学模型之一,它在哈密顿动力学、最优控制理论、微分对策等方面都有着广泛的应用。由于解的激波的产生使得Hamilton-Jacobi方程的经典光滑解不容易求出甚至不存在,但许多应用学科的发展需要解决这个问题。在二十世纪八十年代初,Crandall和Lions等人利用极值原理提出了Hamilton-Jacobi方程粘性解的概念,推进了偏微分方程弱解理论的发展。动力系统的均匀化理论是由高斯在研究行星的相互摄动时提出来的,它是研究具有多尺度结构的偏微分方程或动力系统解的渐近性的一种经典的解析方法。自从Lions,Crandall,Evans定义了粘性解之后,Hamilton动力学的研究进入了一个崭新的领域。由于粘性解理论、弱KAM理论、Hamilton系统的均匀化理论之间存在本质的联系,因此对均匀化理论的研究也就有着重要的作用。Hamilton-Jacobi方程Cauchy问题的解的渐近行为的研究要追溯到Kruzkov,Lions,和Barles等人,他们研究了当Ω=Rn时的情况以及算子H = H( p)不依赖于变元x时的情况。当前解的渐近行为的研究发展的一个特性是与Fathi的弱KAM理论相结合,这一理论在研究静态方程解的结构方面起着重要的作用。关于Hamilton-Jacobi方程在边界条件下的解的渐近问题也有一些研究成果。概周期函数理论是由丹麦数学家Bohr在研究Fourier级数时于1924-1926年间提出的。由于研究实际问题的需要以及其它数学分支发展的推动,概周期微分方程的理论也有了较大的发展。概周期函数理论在函数基本性质方面其发展过程的主要特点是其函数范围不断扩大,从概周期函数到渐近概周期函数,再到弱概周期函数,1984年Sarason提出的遥远概周期函数,直到1992年张传义提出了伪概周期函数,每一次函数类的扩展都大大拓展了概周期型函数的应用范围。本文总共分为五章,主要内容如下:第一章介绍Hamilton-Jacobi方程、均匀化问题、解的长时间行为以及概周期型函数的背景、发展概况等等。第二章简述Hamilton-Jacobi方程的必要知识。第三章利用曲线横截Lebesgue零测集这一概念,最大值原理以及扰动的检验函数,研究了Hamilton-Jacobi方程的Cauchy问题的粘性解当ε→0时的渐近行为,证明了上述方程的解uε在ε→0时在的粘性解。第四章利用Aubry-Mather理论和Perron方法探讨了Hamilton-Jacobi方程Cauchy-Dirichlet问题当边界条件是渐近概周期函数时的粘性解的长时间行为,得到了当时间趋于无穷大时粘性解的收敛性,以及渐近解的表达公式。第五章利用概周期型函数的定义和基本性质以及Banach压缩映像原理分别研究了一阶包含镜射自变量微分方程遥远概周期解的存在唯一性和二阶包含镜射自变量微分方程概周期解的存在唯一性问题。
