非线性波方程是非线性科学的一个重要分支,是物理数学中一类重要的偏微分方程。非线性波方程的求解问题是一个古老而重要的研究课题。目前虽然已经提出和发展了许多求非线性偏微分方程精确解的方法,但由于求解非线性波动方程没有也不可能有统一而普遍适用的方法,因此继续寻找一些有效可行的方法依然是一项十分重要和极有价值的工作。本文研究了几类非线性波方程的行波解,用微分方程定性理论和分岔理论对其进行定性分析,研究系统的有界光滑行波解和非光滑行波解,分析系统参数及奇异线对系统解的结构的影响,给出各种有界解的存在条件及解的精确表达式,并探讨其动力学行为。本文主要研究工作如下：在第一章中回顾了非线性波方程的历史背景和经典求解方法概述,介绍了奇异孤立波的研究现状。指出了非线性波方程与动力系统之间的联系,介绍了由李继彬教授提出的研究非线性波方程的“三步法”的主要理论和结果以及其他预备知识。本章最后回顾了微分系统极限环的研究背景与现状,特别指出微分系统在幂零奇点极限环分支的研究方法及其最新研究进展。第二章利用平面微分方程定性理论研究了一类偏微分方程高次奇点的定性行为。其次,在非齐次边界条件下,得到了该方程的两类单峰孤立波解,并对其进行渐进分析,给出其精确表达式与数值模拟。‘第三章研究一类具有非线性色散项的K(m,n)方程的行波解。目前文献对该类方程的研究主要集中于讨论它的compacton解。本章利用“三步法”研究方程的行波解及其动力学行为。证明了由正则系统的奇异同宿(异宿)轨道所定义的解是该方程的光滑周期波解而不是孤立波解或非光滑波解。借助行波解与相应常微分方程的轨道的对应关系,从直观上形象地获得K(m,n)方程的光滑周期波解、光滑孤立波解和孤立尖波解。第四章利用动力系统分支方法研究广义Camassa-Holm方程的行波解。通过研究其对应行波系统的相图与分支,得到了该方程在各种参数条件下的光滑与非光滑行波解存在条件。特别指出在特定参数条件下,peakon和valleyon能同时存在。其次,指出该方程对应的奇异行波系统中奇直线的出现,是这些非光滑行波解产生的真正原因。最后利用积分的方法得到了广义Camassa-Holm方程在某些参数条件下的有界行波解的解析表达式。第五章研究了一类四次系统幂零奇点的中心条件与极限环分支,定义了拟Lyapunov常数,并建立了计算拟Lyapunov常数的线性递推公式,运用这个公式以及计算机代数系统Mathematica,计算得到了该四次系统幂零奇点的前九个拟Lyapunov常数,首次证明了四次系统幂零奇点分支出九个极限环。第六章研究了一类六次系统幂零奇点的极限环分支问题,给出了计算拟Lyapunov常数的线性递推公式与系统幂零奇点的前十三个拟Lyapunov常数,进一步导出了幂零奇点成为十三阶细焦点的条件,在此基础上首次得到了六次系统幂零奇点分支出十三个极限环的一个实例。第七章对本文工作进行了总结,并提出有待进一步研究的问题。
