自然科学和工程技术中的许多问题都可用非线性数学物理模型来描述,而对这些非线性数学物理模型的分析和理解大部分可归结为对非线性发展方程的求解问题.非线性发展方程的复杂性决定了它的求解不可避免的要涉及繁复的微分和代数运算,这就为数学物理及计算机领域的研究人员提出了新的课题,即如何将这些繁复的微分和代数运算交由计算机去自动完成.本文基于数学机械化思想,并以符号计算软件Maple为工作平台研究了Darboux变换方法和Hirota双线性方法的应用及其机械化实现.工作主要分为两个部分：一、分别对(2×2)-和(3×3)-矩阵谱问题进行研究,由这些谱问题导出了一些著名的孤子方程及新的非线性发展方程.构造了几类(2×2)-和(3×3)-系统的N重Darboux变换,设计了构造非线性发展方程多孤子解的一种简化算法,并在符号计算软件Maple上开发了实现该算法的dbtransformation软件包.二、基于Hirota双线性方法,分别开发了构造非线性发展方程双线性形式和计算双线性方程N孤子解的Bilinearization软件包和Multisoliton软件包,为孤子方程可积性及精确解的研究提供了有效的工具.第一章介绍了本文所研究内容的理论背景与发展现状,其中包括孤立子理论,非线性发展方程的精确解与符号计算.第二章构造了(2×2)-AKNS系统和(2×2)-BK系统的N重Darboux变换,并给出了一些特殊方程的N重Darboux变换,如：KdV梯队,mKdV梯队,NLS梯队.设计了构造非线性发展方程多孤子解的一种简化算法,并在符号计算软件Maple上开发了实现该算法的dbtransformation软件包,解决了求解过程中繁复的公式推演问题,并尽可能地避免了冗余运算.利用这种算法系统地研究了无约化的(2×2)-AKNS系统和(2×2)-BK系统,得到了它们的形式各异的孤立子解,其中包括双孤子解、追赶孤子解和单峰碰撞孤子解.第三章构造了一个新的与(3×3)-矩阵谱问题有关的Lax对,导出了它所对应的梯队,其中不仅包含了KdV方程、mKdV方程、NLS方程等已为我们所熟知的方程,也包含了HNLS方程等复杂的高阶方程.借助谱问题的规范变换,构造出了该(3×3)-矩阵谱问题的Darboux变换,并通过符号计算软件Maple求出了该Lax对所对应的非线性发展方程的精确解.第四章基于Hirota双线性法思想,在符号计算软件Maple上实现了非线性发展方程双线性化的机械化算法,编制了非线性发展方程双线性化的Bilinearization软件包,并通过大量实例说明了该软件包的有效性.第五章通过对双线性方程多孤子解的研究发现,双线性方程的孤子解通常可以表示为指数函数,由此借助于符号计算软件Maple编制了求解双线性方程多孤子解的Multisoliton软件包.这个算法可以给出双线性方程单孤子解、双孤子解、三孤子解等,为研究非线性发展方程的精确解提供了有效的工具.第六章对全文的工作进行了总结和讨论,并对下一步工作进行了展望.
