分数阶微分系统的稳定性分析
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本文共有五章,主要研究了三部分内容,包括分数阶微积分(分数阶积分和分数阶微分)的初始化、同分数阶微分系统的稳定性分析以及多分数阶微分系统的稳定性分析.第一章简要地介绍分数阶微积分的发展概况、分数阶微分系统稳定性的研究背景及有关分数阶微积分的定义和基本性质.第二章研究了Riemann-Liouville导数和Caputo导数的Lorenzo-Hartley(LH)初始化问题,并从三个方面比较了LH分数阶导数与未初始化的分数阶导数的关系.在第三章中,研究了线性同分数阶微分系统及其扰动系统的稳定性,给出了带Riemann-Liouville导数或Caputo导数的线性同分数阶微分系统及其扰动系统的稳定性判据.第四章通过类Lyapunov函数法和比较法分析非线性Caputo型同分数阶微分系统的稳定性,推导出了非线性Caputo型同分数阶微分系统的零解渐近稳定或稳定的充分条件.第五章利用广义分数阶导数与Caputo导数的关系式及相关性质将任意有理多阶的Caputo型微分系统转化为等价微分系统,并给出该有理多阶微分系统的稳定性结论.同时分析了齐次初值形式的Riemann-Liouville型有理多阶微分系统,给出Riemann-Liouville型有理多阶微分系统的等价微分系统及系统稳定的一个充分条件.
| 摘要 | 第8-9页 |
| ABSTRACT | 第9页 |
| 目录 | 第10-12页 |
| 第一章 绪论 | 第12-26页 |
| 1.1 分数阶微积分的应用概况 | 第12-13页 |
| 1.2 分数阶微分系统稳定性的研究背景 | 第13-15页 |
| 1.2.1 线性同分数阶微分系统的稳定性分析 | 第14页 |
| 1.2.2 非线性同分数阶微分系统的稳定性分析 | 第14-15页 |
| 1.2.3 多分数阶微分系统的稳定性分析 | 第15页 |
| 1.3 特殊函数及其性质 | 第15-18页 |
| 1.3.1 Gamma函数和Beta函数 | 第16页 |
| 1.3.2 Mittag-Leffler函数 | 第16-18页 |
| 1.4 分数阶微积分的定义和性质 | 第18-23页 |
| 1.4.1 Riemann-Liouville分数阶积分与导数 | 第18-20页 |
| 1.4.2 Caputo导数 | 第20-21页 |
| 1.4.3 广义分数阶导数 | 第21-23页 |
| 1.5 本文的主要工作 | 第23-26页 |
| 第二章 分数阶微积分的初始化 | 第26-44页 |
| 2.1 引言 | 第26-27页 |
| 2.2 LH初始化理论 | 第27-37页 |
| 2.2.1 基于Riemann-Liouville微积分的LH初始化 | 第28-30页 |
| 2.2.1.1 分数阶积分的LH初始化 | 第28-29页 |
| 2.2.1.2 Riemann-Liouville导数的LH初始化 | 第29-30页 |
| 2.2.2 LH分数阶微积分的性质 | 第30-33页 |
| 2.2.3 LH分数阶微积分的Laplace变换 | 第33-37页 |
| 2.2.3.1 LH分数阶积分的Laplace变换 | 第33-34页 |
| 2.2.3.2 LH分数阶导数的Laplace变换 | 第34-37页 |
| 2.3 LH分数阶导数与未初始化的分数阶导数的关系 | 第37-44页 |
| 2.3.1 从定义式的角度 | 第37-41页 |
| 2.3.2 从Laplace变换公式来看 | 第41-44页 |
| 第三章 线性同分数阶微分系统及其扰动系统的稳定性 | 第44-60页 |
| 3.1 引言 | 第44-47页 |
| 3.2 自治线性分数阶微分系统的稳定性分析 | 第47-53页 |
| 3.2.1 Riemann-Liouville型微分系统 | 第47-51页 |
| 3.2.2 Caputo型微分系统 | 第51-53页 |
| 3.3 非自治线性分数阶微分系统稳定性分析 | 第53-57页 |
| 3.3.1 Riemann-Liouville型微分系统 | 第53-55页 |
| 3.3.2 Caputo型微分系统 | 第55-57页 |
| 3.4 扰动系统的稳定性 | 第57-59页 |
| 3.5 小结 | 第59-60页 |
| 第四章 非线性Caputo型同分数阶微分系统的稳定性 | 第60-72页 |
| 4.1 预备知识 | 第61-62页 |
| 4.2 稳定性分析 | 第62-70页 |
| 4.2.1 类Lyapunov函数法 | 第63-67页 |
| 4.2.2 比较方法 | 第67-70页 |
| 4.3 小结 | 第70-72页 |
| 第五章 多分数阶微分系统的稳定性 | 第72-94页 |
| 5.1 Caputo型多分数阶微分系统的分析 | 第72-83页 |
| 5.1.1 Caputo型多分数阶微分系统的等价形式 | 第72-79页 |
| 5.1.2 Caputo型多分数阶微分系统的稳定性分析 | 第79-83页 |
| 5.2 Riemann-Liouville型多分数阶微分系统的分析 | 第83-89页 |
| 5.2.1 Riemann-Liouville型多分数阶微分系统的等价形式 | 第83-87页 |
| 5.2.2 Riemann-Liouville型多分数阶微分系统的稳定性分析 | 第87-89页 |
| 5.3 实例 | 第89-92页 |
| 5.4 小结和展望 | 第92-94页 |
| 参考文献 | 第94-102页 |
| 攻读博士学位期间完成的工作 | 第102-104页 |
| 致谢 | 第104页 |
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