格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method, LBM)作为计算流体力学中的一种新型计算方法,与传统数值方法有着本质的区别,它是基于微观模型和介观动理学方程的介观数值计算方法.格子Boltzmann方法基于这种微观特性,具有清晰的物理背景,天然的并行特性,边界处理和程序实施简单等优点.因此该方法受到国内外研究者的密切关注,并且被应用于各个领域,特别是在许多传统数值方法难以胜任的领域,如在多孔介质、磁流体、生物流体、晶体生长、燃烧等问题上的研究取得了巨大的成功.近几年,格子Boltzmann方法被广泛应用于求解偏微分方程领域,并取得了很大的进展.众所周知,变系数偏微分方程相比常系数偏微分方程更加复杂,更能深刻地描述自然界中复杂的真实物理过程,因此对变系数偏微分方程的研究具有十分现实的意义.本文的目标是应用格子Boltzmann方法研究一类带有变系数的偏微分方程.本文首先回顾了格子Boltzmann方法的发展历程以及在求解偏微分方程方面的主要应用.介绍了格子Boltzmann方法的基本构造,并详细综述了BGK近似逼近的Boltzmann方程的离散过程,以及基于LBGK方程利用Chapman-Enskog展开恢复宏观Navier-Stokes方程的过程.著名的LBGK方程形式如下：其中fα,fαeq分别代表粒子的分布函数和局部平衡态分布函数,{e0,…,eb1}代表粒子的离散速度集合,△t表示时间步长.τ是无量纲松弛时间.本文在上述方程基础上提出了恢复一类变系数偏微分方程的演化方程,其形式如下：其中hα(x,t)是修正函数,在恢复宏观方程中起着修正宏观项和消除误差项的作用.首先,利用演化方程(2)建立了恢复Fokker-Planck方程的格子Boltz-mann模型.一维形式的非线性Fokker-Planck方程为：二维形式的非线性Fokker-Planck方程为：在利用多尺度分析恢复宏观方程的过程中,对修正函数ha(x,t)实施了Chap man-Enskog一阶展开,用于修正宏观方程中的对流项.对于一维问题,采用D1Q3和D1Q5速度模型,分别恢复出具有二阶和三阶精度的Fokker-Planck方程.对于二维问题,采用D2Q9模型恢复出具有三阶精度的Fokker-Planck方程.利用数值算例验证了所提出模型的有效性和数值精度,有效地模拟了由Fokker-Planck方程控制的随机过程.并且数值结果表明我们所得到的数值解很好地与精确解相吻合.利用演化方程(2)构造了Black-Scholes方程的格子Boltzmann模型.Black-Scholes方程用于描述经济学中的期权价值,其形式如下：这里V(S,t)代表欧式看涨(或看跌)期权的价值,S代表标的资产的价格,σ(S,t)>0代表标的资产的波动率,r(S,t)为无风险利率,q(S,t)为红利率.σ(S,t),r(S,t)和q(S,t)都是S和t的函数.方程(3)的解提供了欧式期权的期权定价公式和一个复制未定权益的套利组合.期权定价问题是一个倒向的定解问题,以欧式期权为例其终值条件为：这里E为实施价格,T>0是到期日.我们将方程(3)等价转化成下述形式的带有源项的偏微分方程：然后对方程(5)建立格子Boltzmann模型用于求解Black-Scholes方程.在多尺度分析过程中,对修正函数hα(x,t)实施了Chapman-Enskog二阶展开,目的是在恢复宏观过程中用于修正宏观对流项和源项.采用D1Q3速度模型恢复出具有二阶精度的Black-Scholes方程.利用数值算例有效地模拟了由Black-Scholes方程控制的欧式期权,两值期权和蝶式期权,验证了所提出模型的有效性和数值精度.我们所建立的模型具有一般性,可以用于求解一类带有变系数的二阶偏微分方程.
