作为组合矩阵论的一个重要组成部分,符号模式及零-非零模式主要研究其定性类的组合结构,即研究其定性类中实矩阵的仅与其元素的符号以及零-非零结构有关而与其元素大小无关的组合性质.符号模式及零-非零模式的研究已经广泛地应用于控制系统理论、生物学、化学、理论计算机科学,经济学及社会学等领域.本文中,我们将研究符号模式和零-非零模式的一些谱性质.研究内容主要包括符号模式蕴含最终正性质、符号模式蕴含幂正性质、符号模式和零-非零模式的谱任意性质、幂零性质,惯量任意性质以及加细惯量任意性质.全文分三个方面的内容,共计五章.1.首先引进极小蕴含最终正性质符号模式和极小蕴含幂正性质符号模式两个概念,建立了符号模式是一个极小蕴含最终正性质符号模式或极小蕴含幂正性质符号模式的一些充分或必要条件;并利用这些结果,对阶数不大于3的极小蕴含最终正性质符号模式及极小蕴含幂正性质符号模式进行了分类,从而证明了所有阶数不大于3的蕴含最终正性质符号模式和蕴含幂正性质符号模式分别仅是具体的几个符号模式的超模式;并初步研究了4阶蕴含最终正性质的符号模式;其次,给出了极小蕴含最终正性质符号模式与极小蕴含幂正性质符号模式之间的一些关系;最后,通过对极小蕴含最终正性质的星符号模式和双星符号模式的分析,刻画了蕴含最终正性质的星符号模式和双星符号模式的特征,证明了所有n×n蕴含最终正性质的星符号模式以及蕴含最终正性质的双星符号模式分别仅是几类极小蕴含最终正性质符号模式的超模式.2.研究了一类4阶不可约三对角符号模式的谱性质.给出了4阶不可约三对角符号模式蕴含幂零的一些必要条件,并证明带有两个非零主对角元或者三个相邻非零主对角元的4阶不可约三对角符号模式是蕴含幂零的当且仅当它是谱任意的;从而,部分回答了文[2]中的一个公开问题;此外,我们给出了一类新的非零元个数少于2n的n阶(n≥5)惯量任意零-非零模式以及一类非零元个数少于2n的n阶(n≥6)惯量任意符号模式.3.通过对矩阵惯量的分裂,引进加细惯量临界集和极小加细惯量临界集两个概念,给出了阶数不超过3的不可约零-非零模式的所有极小加细惯量临界集;从而,给出了阶数不超过3的不可约零-非零模式的所有极小惯量临界集,部分回答了文[74]中的一个公开问题;并给出了阶数不超过3的不可约(加细)惯量任意零-非零模式的一些特征.此外,给出了4阶不可约零-非零模式的极小惯量临界集的基数.
