近三十年来,谱方法和拟谱方法作为数值求解微分方程的重要方法得到了蓬勃发展,它们的主要优点是高精度,即真解越光滑,数值解的误差就越小.谱方法的发展经历了三个阶段.第一个阶段研究工作是根据Fourier正交逼近、Legendre正交逼近和Chebyshev正交逼近的快速收敛性,构造相应的高精度数值方法.第二阶段研究工作是充分发挥Jacobi正交逼近、Laguerre正交逼近和Hermite正交逼近的特点,构造各种计算退化型微分方程、奇异型微分方程和无界区域上的微分方程,以及有关问题的谱与拟谱方法.然而,通常的Jacobi,Laguerre和Hermite谱和拟谱方法仅适用于直角区域上的内部或外部问题,这是谱方法的主要弱点,因此,近年来开始的第三阶段研究工作则着重于试图克服这个障碍,从而从本质上拓广谱和拟谱方法的理论及其应用.本文研究凸四边形区域上偏微分方程的谱和拟谱方法,以及多角形区域上的谱元方法和区域分解拟谱方法.首先,我们通过坐标变换引入一类由Legendre多项式诱导出来的函数系,它们构成凸四边形Ω上的一个完备正交系.然后建立了以它们为基函数的L~2 (Ω)-正交逼近和H_O~1 (Ω)-正交逼近理论.我们设计了一个Poission方程Dirichlet边值问题和一个抛物型方程初边值问题的谱格式,数值结果证实了这些格式的高效性.其次,我们引入另一类函数系,建立了以此类函数为基底的不同类型的正交投影和拟正交投影理论,由此组合成多角形区域上的拟正交逼近,它在相邻子区域的公共边界上保持连续性,并具有整个多角形区域上的谱精度.我们构造了凸四边形区域上椭圆型方程混合非齐次边值问题的Petrov-Galerkin谱方法和多角形区域上的Petrov-Galerkin谱元方法,并证明了它们在整个区域上的高精度.第三,我们引入另一类由Legendre多项式诱导的一个函数系,建立了凸四边形区域上以它们为基函数的Legendre-Gauss型插值理论,设计了相应的数值积分公式,它对所采用的基函数及其导数都准确成立.我们建立了两个模型问题的拟谱格式,证明了它们的高精度.数值结果显示了这些方法的高效性.最后,我们建立了几类凸四边形区域和多角形区域上的拟正交逼近,及Legendre-Gauss型插值理论,设计了相应的数值积分公式,它对所采用的基函数及其导数都准确成立.我们构造了多角形区域上椭圆型微分方程混合非齐次边值问题的区域分解拟谱方法,并证明它在整个区域上的谱精度.本文的结果克服了通常谱和拟谱方法的一个致命弱点,即对区域形状的严格限制,从而从本质上拓广了谱和拟谱方法的理论及其应用.
