王国俊教授相继提出基于均匀概率测度空间的无穷可数乘积与(0,1)中的随机数列下的计量逻辑学及其随机化理论,如今已在包括Lukasiewicz,(?),Godel和Goguen等多种命题逻辑和相应的模糊命题逻辑系统中建立了相对完整的计量逻辑学理论.但关于逻辑度量空间自身的结构的研究似乎才刚刚起步,虽然王国俊教授又给出了若干逻辑性质的拓扑刻画以及命题逻辑中极大和谐理论之集上的拓扑性质,但即使在经典的逻辑度量空间中,至今仍未见到进一步的研究结果,可以说逻辑度量空间本身的特征性质还远不清楚.本论文的主要目的就是在这方面进行探讨,同时我们已经得出了若干能反映出经典逻辑度量空间的内蕴结构的定理.本文得到了如下的研究成果：第一,证明了在经典的逻辑度量空间中存在着一种能保持逻辑等价关系和相应的代数结构的反射变换.首先证明了在逻辑度量空间中存在着一种巧妙的反射变换(?),(?)保持逻辑等价关系不变,而且是同态映射.其次,由反射变换(?)可自然地导出Lind-enbaum代数上的一个反射变换(?)*,反射变换(?)*是Lindenbaum代数上的自同构变换,等距变换,且在经典逻辑度量空间中存在(?)*的不动点,得到了(?)*的不动点的一般形式.第二,给出了经典逻辑度量空间上的模2次范整线性空间结构.早在1958年,为推广Sheeffer定理,王国俊教授引入了平移群和平移空间等概念.并基于此提出了次范整线性空间(简称为Z-空间)理论.受这种思想的启发,本文从另一个特殊的角度探讨了逻辑度量空间的结构,得出了经典逻辑度量空间上的模2次范整线性空间结构,使其成为同时具有逻辑结构、拓扑结构和线性结构的载体,为进一步从不同的方面研究逻辑度量空间提供了可能的途径.第三,研究了对称逻辑公式、平衡逻辑公式在经典逻辑度量空间的分布.我们将密码学中对称布尔函数、平衡布尔函数的概念引入到了二值计量逻辑学理论之中,定义了对称逻辑公式、准对称逻辑公式、平衡逻辑公式等概念.证明了对称公式的两种截然相反的性态,即,n元对称公式只占全体n元逻辑公式的很小一部分,其比例随n的增大而趋向于零；然而从另一角度看,n元对称公式却又很多,因为可以证明对称逻辑公式的真度之集像全体逻辑公式之集一样,是在[0,1]中稠密的.类比地证明了n元平衡逻辑公式只占全体n元逻辑公式的很小一部分,其比例随n的增大而趋向于零：并且,n元平衡逻辑公式的真度永远都是1/2,任一n元平衡逻辑公式的任意小的邻域内都有非平衡逻辑公式,但是这些公式的真度随n的增大而趋向于1/2.给出了对称逻辑公式、平衡逻辑公式的表示定理.最后,比较了对称逻辑公式之集和平衡逻辑公式之集,指出它们相交非空但是又不相互包含.第四,找出了在经典逻辑度量空间中存在一些特殊图形.我们证明了在逻辑度量空间中存在等边多边形,直角三角形等特殊图形.证明了在经典逻辑度量空间中不存在边长大于2/3的等边三角形,但存在边长可以和2/3任意接近的等边三角形.这反映了经典逻辑度量空间中的距离不同于一般距离的特有性质.第五,研究了伪逻辑度量空间(F(S),ρ3)的拓扑性质.证明了逻辑度量空间(F(S),ρ3)是不完备、非紧致空间,且为零维空间.(F(S),ρ3)具有一种类似于樊畿性质的所谓“有限等球连通性”第六,本文还探讨了具有模态连接词的模糊命题逻辑,发现模糊模态命题逻辑和基本模态命题逻辑有很大的不同.证明了模糊模态逻辑的永真式是基本模态逻辑中的有效公式,同时举例说明反之不真.在模糊模态命题逻辑中引入准永真式理论,研究了准永真式的性质,并且结合系统(?)*构造出了一大类永真式和准永真式.
