本文主要研究如下脉冲积分微分系统的稳定性和有界性,其中Tx=∫t0tW(t, s,x(s))ds, W:R+2×Rn→Rn.脉冲积分微分系统作为非线性脉冲微分系统的一个重要分支,在自然科学中有着广泛的应用背景,如物理学中的电路模拟器与生物学中的神经网络系统等数学模型都可以归为脉冲积分微分系统来进行分析探讨,因而具有重要的应用价值,近年来也引起了专家的兴趣与关注.在对该系统的研究中,文[5]建立了脉冲积分微分系统平凡解稳定性的比较结果,文研究了该系统解的有界性并给出了直接结果,然而整体来看,对该系统稳定性与有界性的研究还有许多问题有待解决,因此还有大量工作要做.本文研究脉冲积分微分系统解的稳定性与有界性,得到了若干新的结果.众所周知Lyapunov第二方法在研究脉冲微分系统的稳定性时起着重要的作用,在以往的研究中,人们通常利用Lyapunov函数的一阶导数来讨论脉冲微分系统的各种性质,而且总是独立地对系统的离散及连续部分设置条件,而文提出了一种新的方法,即Lyapunov函数沿系统解轨线的导数不再局限与常负或定负,而允许Lyapunov函数沿系统解轨线的连续部分递增,或在脉冲点跳跃后增大,但是必须设置条件保证其不能增长太快.基于这个思想,给出了Lyapunov函数的广义二阶导数的定义.在Lyapunov函数的广义二阶导数满足一定条件的前提下,通过对系统的离散及连续部分设置混合条件,进行综合估计.在这里简单的称这种方法为Lyapunov函数广义二阶导数方法.使用此方法时,不必再考虑一阶导数的符号问题.因此,当Lyapunov函数的一阶导数符号不确定,而广义二阶导数存在且符号确定时,使用此方法研究脉冲微分系统特别有效.近几年,应用广义二阶导数方法研究脉冲微分系统稳定性的文章已不少,但是应用此方法研究脉冲积分微分系统的稳定性和有界性的文章还是很少见,因此还有很多工作要做,所以本文就利用此方法来研究脉冲积分微分系统的稳定性和有界性.本文主要分三章,在第一章中,主要对介绍了脉冲微分系统尤其是脉冲积分微分系统的研究背景及实际应用例子,并对广义二阶导数方法进行了说明了,分析了广义二阶导数的理论研究现状,说明了广义二阶导数方法在脉冲积分微分系统中研究的可行性与优越性.在第二章中,我们首先研究了脉冲积分微分系统的稳定性理论.众所周知,Lyapunov函数方法并结合Razumikhin技巧是研究泛函微分系统稳定性的一种行之有效的工具,如文献本文通过借鉴研究脉冲泛函微分系统的Lyapunov函数方法并结合Razumikhin技巧的思想用广义二阶导数方法研究了脉冲积分微分系统零解的稳定性,并且在两个测度的稳定性理论的基础上,利用广义二阶导数方法研究了系统(1)的两个测度下的稳定性.其中在研究稳定性时引入了函数在某一区间上或其间断点处有界增长的概念,它限制了Lyapunov函数的增长.在第三章中,我们主要对脉冲积分微分系统的有界性进行了研究,仍然是运用广义二阶导数方法结合Lyapunov函数与Razumikhin技巧,给出了脉冲积分微分系统零解的有界性,一致有界性定理并给出了证明.并且在两个测度下的有界性理论的基础上,利用广义二阶导数方法研究了脉冲积分微分系统在两个测度下得有界性,一致有界性的直接结果,并最终举例说明了定理的实用性.
