随着科学技术的不断发展,各种各样的非线性问题已日益引起人们的广泛关注,非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一.非线性泛函分析是非线性分析中的一个重要分支.非线性微分方程边值问题源于应用数学,物理学,控制论等各种应用学科中,是目前非线性泛函分析中研究最为活跃的领域之一.其中,积分边值问题及奇异边值问题成为近年来讨论的热点,是目前微分方程研究的两个重要领域.本文利用不动点指数定理Leray-Schauder度理论,不动点定理结合上下解方法,研究了几类奇异及积分边值问题解的存在性及惟一性,并把得到的主要结果应用到相应的非线性微分方程的边值问题.根据内容本文分为以下四章：第一章绪论,主要介绍了本文的研究课题.第二章在本章中,我们利用不动点指数定理,讨论了以下2p阶和2q阶奇异半正方程组积分边值问题其中为连续函数；为非负函数,0≤i≤p-1,0≤j≤q-1.我们得到了一些新的关于此类方程组正解和C2p-1[0,1]×C2p-1[0,1]正解存在性的结果,并且通过例子说明我们对于主要结果的应用.第三章在本章中,我们考虑带有积分边界条件和变号非线性项的四阶p-Laplacian微分方程和其中f：[0,1]×R4→R为连续函数；Φ为增同胚且Φ(0)=0,Φ(R)=R；hi：R3→R,giR→R(i=1,2)为连续函数；ki≥0(i=1,2)；R=(-∞,+∞).本章利用上下解方法和Leray-Schauder度理论,研究了(3.1.1)解的存在性和(3.1.2)解的唯一性.第四章在本章中,利用上下解方法,不动点定理研究了如下四阶奇异m点边值问题正解存在性其中为常数关于u减.本章通过构造上下解和比较定理给出了C2[0,1]和C3[0,1]正解存在的充分条件.
