积分方程的小波解法

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小波分析作为一门新兴的数学分支,它在理论及应用上涉及到了调和分析、泛函分析、数值逼近、微分方程及积分方程数值求解等诸多数学领域。所以被广泛地应用于各种领域。现在,小波分析已成为科学研究和工程技术应用中涉及面极其广泛的一个热门话题。小波分析是Foureri分析的发展和完善。小波分析的发展是以解决实际问题为出发点,而后形成辐射多学科的理论体系,所以小波分析一次又一次形成研究热潮,成为国际研究热点。小波变换克服了传统Fourier变换的不足,在时域和频域都具有良好的局部化特性,小波在数值分析、信号处理、图像处理等领域有重要的应用价值。由于对高频成分采用逐渐精细的时域或频域取样步长,从而可以聚焦到对象的任意细节。从这个意义上讲,它被誉为数学显微镜,可以预料在未来将成为科技工作者经常使用的重要的数学工具。积分方程出现在自然科学领域当中并且占有重要的地位。如何解积分方程,这是问题的关键,对于具体的积分方程(组),除非极为特殊的情形,很难求出它的精确解,因此数值解或近似解受到了众多研究者的极大关注。由于小波兼有光滑性和局部紧支撑性质,与传统的有限元、有限差分方法比较,能更好的处理积分方程的数值求解问题。在本文中我研究了小波分析在积分方程中的应用。本文所作的主要工作有:1.介绍了小波和积分方程的一些基础理论,先给出了最简单的小波即Haar小波的定义和基本的一些性质,接着介绍由Haar小波构造出Haar小波的积分算子矩阵和乘积算子矩阵,再用Haar小波分解了Fredholm方程组和Voltrra方程组,再用算子矩阵对它们进行变换成为非线性的方程组,然后用配置法解出所得的两个方程组的数值解。最后给出了数字仿真图和表格,形象地给出了数值解和精确解的比较,所得的数值解随着级数m的增大而更加趋于精确,因此为了得到更精确的解,可以取更大的m值。2.先给出了Legendre小波的定义和一些基本的性质,然后介绍了由Legendre小波构造出Legendre小波的积分算子矩阵和乘积算子矩阵,最后用Legendre小波分解了Fredholm方程组和Volterra方程组,再用算子矩阵对它们进行变换成非线性的方程组,然后用配置法解出这两种方程组的数值解。然后给出了数字仿真图和表格,形象地给出了数值解和精确解的比较,所得的数值解随着m和k的增大而更加趋于精确,因此为了要得到更精确的解,可以取更大的m和k值。
摘要第4-6页
ABSTRACT第6-7页
第一章 绪论第10-16页
    1.1 小波分析的产生与发展第10-13页
        1.1.1 小波分析的来源第10-11页
        1.1.2 小波分析的发展第11-13页
    1.2 积分方程的研究现状第13-15页
    1.3 本文的主要研究工作第15-16页
第二章 小波的预备知识第16-26页
    2.1 小波和小波变换第16-20页
        2.1.1 小波的定义第16-17页
        2.1.2 小波变换第17-20页
    2.2 多分辨分析第20-23页
    2.3 二维多尺度分析和小波基第23-26页
第三章 Freholm 和Volterra 积分方程的Haar 小波解第26-38页
    3.1 Haar 小波与算子矩阵第26-30页
        3.1.1 Haar 小波及性质第26-28页
        3.1.2 Haar 小波的积分算子矩阵第28-29页
        3.1.3 Haar 小波的乘积算子矩阵第29-30页
    3.2 用Haar 小波求解Fredholm 积分方程组第30-34页
    3.3 用Haar 小波求解Volterra 积分方程组第34-38页
第四章 Freholm 和Volterra 积分方程的Legendre 小波解第38-52页
    4.1 Legendre 小波与算子矩阵第38-44页
        4.1.1 Legendre 小波定义及性质第38-40页
        4.1.2 Legendre 小波的积分算子矩阵第40-42页
        4.1.3 Legendre 小波的乘积算子矩阵第42-44页
    4.2 用Legendre 小波求解Fredholm 积分方程组第44-47页
    4.3 用Legendre 小波求解Volterra 积分方程组第47-52页
第五章 结论第52-53页
致谢第53-54页
参考文献第54-58页
攻硕期间取得的研究成果第58-59页
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