一般形式积分方程解的结构和性质

径向对称论文 积分形式的移动平面论文 正则性提升定理论文
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在这篇文章中,我们研究方程在一般情境下的解的性质.证明了解的正则性、对称性和单调性,也证明了积分方程(0-1)和微分方程之间的等价性,并由此得到了相关的几个推论.我们主要的结论是定理1设u∈Lq(Rn)是方程(0-1)的一个解,当q>n/n-α并且那么u(x)属于L∞(Rn)空间,因此是连续的.定理2设u∈Lq(Rn)是方程(0-1)的一个解,对于某个q>n/(n-α),假设有ⅰ)f(x,u)和(?)f/(?)u关于u是严格单调增的,ⅱ)∫Rn|((?)f)/((?)u)(y,u(y))|n/α+dy<∞,和ⅲ)f(x,u)在x1-方向上关于原点是对称并且单调减的.那么u在x1-方向上关于原点是对称并且单调减的.推论1设u∈Lq(Rn)是方程(0-1)的一个解,并且满足定理二中的条件i)和ii).另外,假设f=f(|x|,u)和f关于|x|严格单调减,那么u在Rn上关于原点是径向对称并且单调减的.推论2设u∈Lq(Rn)是方程(0-1)满足定理2中条件i)和ii)的一个解,如果f=f(u),那么方程的解u在Rn关于某点径向对称并单调减.推论3方程(0-1)的任意一个解乘以某一个常数也是的弱解,反之亦然.定理3方程(0-1)的任意一个解乘以某一个常数C是方程的一个弱解,反之亦然.本文在第三部分,用正则性提升定理证明了解的正则性、运用移动平面法的思想证明了解的对称性和解的单调性,并证明了在弱解存在的情况下,积分方程(0-1)和微分方程(0-2)解的等价性.在证明的过程中我们主要应用了正则性提升定理、积分不等式的极值原理和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式等.
摘要第3-5页
ABSTRACT第5-6页
第一章 引言第8-14页
第二章 预备知识第14-32页
    §2.1 弱极值原理第14-17页
    §2.2 Hopf引理及强极值原理第17-23页
    §2.3 基于比较的极值原理第23-26页
    §2.4 积分不等式的极值原理第26-28页
    §2.5 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式及等价形式、正则性提升定理第28-32页
第三章 一般形式积分方程解的结构与性质第32-42页
    §3.1 解的正则性第32-35页
    §3.2 解的对称性第35-40页
    §3.3 积分方程与微分方程解的等价性第40-42页
参考文献第42-46页
致谢第46-48页
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