在这篇论文里,我们研究了几类平面含参数的分段光滑系统的滑动分支现象。通过运用分段光滑系统的Filippov理论和微分方程定性理论,我们系统地研究了两类分段光滑线性二次系统的滑动分支和极限环的问题,得到了一些新的分支现象。此外,我们运用平均法和代数几何中的Bezout定理证明了高维空间中多项式微分系统极限环的数目不仅是系统维数的指数函数而且是系统次数的幂函数,推广和改进了前人的结果。在论文的第一部分,我们研究了一类含参数的分段光滑的线性二次系统。证明了这类系统可以出现滑动穿越分支、滑动同宿分支、滑动Hopf分支和2重极限环分支等复杂的分支现象。还证明了这类系统恰好可以出现2个双曲极限环。而且,我们还研究了轨线不具有滑动现象时的情形,得到了异宿轨、同宿轨的存在性和极限环的存在性、唯一性等结论。Kuznetsov与其合作者在文献[Int. J. Bifur. Chaos.13 (2003),2157-2188]中分析了滑动穿越分支和滑动同宿分支现象,并通过数值分析显示了这些分支现象的存在性。我们的结果通过具体的系统,从理论上证明了这些复杂的分支现象的存在性。而且通过一个例子就得到了所有这些复杂的分支现象。在论文的第二部分,我们分析了另一类平面分段光滑的线性二次系统的滑动分支,得到了一种新的分支现象,即：滑动异宿分支现象。据我们所知,滑动异宿分支是由我们首次发现的新的分支现象。而且,我们还证明了该系统会出现异宿分支、滑动同宿分支和半稳定极限环分支等现象。此外,该类系统可以恰好有2个双曲极限环。在主要结论的证明中,我们将运用奇异摄动理论来分析分段光滑系统在滑动区域附近的动力学行为。该思想来源于文献[C.A. Buzzi, P.R. da Silva and M.A. Teixeira, J. Diff. Eqns.231 (2006),633-655]中的工作。但该文中blow-up区间的选取和相图都有一些错误,我们改正了这些错误,并运用改正后的结果证明滑动异宿分支的存在性。在论文的第三部分,我们将用平均法和代数几何的Bezout定理研究Rn中一类光滑系统的Hopf分支。我们证明了高维系统从一个奇点分支出的极限环的个数不仅是系统维数的指数函数而且是多项式微分系统次数的幂函数,改进了文献[Llibre and Zhang, Pacific J. Math.240 (2009),321-341]中的结果。他们的结论只证明了从Hopf分支产生的极限环的个数是系统维数的指数函数。此外,我们利用平均法研究了从一类四维系统的周期轨线族中扰动后分支出极限环的问题。当扰动函数是分段光滑的n次函数时,我们证明了从该系统的周期轨线族中至多能分支出3个极限环,其中n≥2,n∈N。我们的结果推广了文献[C.A. Buzzi, J. Llibre and J.C. Medrado, On the limit cycles of a class of piecewise linear differential systems in IR4 with two zones, preprint,2010]中的结果,他们的结论只证明了当扰动函数是分段光滑的线性函数时,从这类系统的周期轨线族中至多可以分支出3个极限环。
