几个全离散可积方程的有限亏格解

本文分别研究了三个AKNS离散可积方程、Hirota方程(品格sine-Gordon方程)、LpMKdV方程(H30模型)和Q10模型,其中H30和Q10模型分别为ABS(2003)分类中H3和Q1模型的参数δ取零的特殊情形,经过“分解、拉直、反演”三步计算求得它们的有限亏格解。以连续谱问题的适当Darboux变换为离散谱问题,构造出离散可积方程的Lax表示。在位势与特征函数的适当约束下,连续谱问题被非线生化为可积Hamilton系统,离散谱问题被非线性化为可积辛映射；它们共享Liouvillc守恒积分系,诸相流可交换。由Lax矩阵定义谱曲线,引入Abel-Jacobi变量,离散流在Jacobi簇上被拉直,具有常值角速度。在Abel-Jacobi坐标下,方程有线性函数形式的特解；通过Ricmann-Jacobi反演求得原位势坐标下由theta函数表示的有限亏格解。Hirota方程和LpMKdV方程可通过Nijhoff变换相互转换,其解可利用映射Sβ,Sγ或Sβ1,Sβ2两种方式得到；Q10模型的解的常系数Mobius变换仍为解。